运动康复师证书的发放机构通常是由国家认可的专业技能鉴定机构或者行业协会来执行，在中国，这类证书主要由人力资源和社会保障部（简称“人社部”）授权的职业技能鉴定指导中心或者是相关行业领域的专业协会颁发。

中国体育科学学会、中国康复医学会等权威机构就常常负责运动康复师的资格认证工作，这些机构在专业领域内具有极高的权威性，他们的认证标准严格，旨在确保持证人具备专业的运动康复知识和技能，能够为社会提供高质量的服务。

填写发证机关时，应具体到该机构的全称，如“中华人民共和国人力资源和社会保障部职业技能鉴定指导中心”或“中国体育科学学会”，如果是在省级层面颁发的证书，可能还会包含省名，如“江苏省人力资源和社会保障厅职业技能鉴定指导中心”。

务必保证信息的准确性，因为这涉及到证书的法律效力以及你在求职或工作中展示的专业资质，也反映了你对职业规范和法律法规的尊重与理解，在获取证书后，建议妥善保管，并定期关注相关机构的更新信息，以便及时进行证书的验证和延续。