运动康复师证是由多个权威机构进行颁发和管理的，在中国，主要由以下几个单位负责办理：

1、人力资源和社会保障部：作为国家层面的主要证书发放机构，其下设的职业技能鉴定中心负责组织和实施各类职业资格考试，包括运动康复师的认证。

2、国家体育总局：作为中国体育事业的主管机构，国家体育总局职业技能鉴定指导中心也参与了运动康复师的资格认定工作，确保体育行业内的专业人才得到规范化的培养和认证。

3、各地体育局或体育行业协会：在地方层面，省级或市级体育局，以及相关的体育行业协会也会根据国家规定，协助开展运动康复师的培训与考核工作。

4、高等教育机构：一些具有运动康复相关专业的高校，如北京体育大学、上海体育学院等，也会提供专业的运动康复课程，并对完成课程的学生进行相应的资格认证。

5、第三方专业培训机构：有些经过官方认可的专业培训机构，如国家体育总局体育科学研究所、中国康复医学会等，也会提供运动康复师的培训和认证服务。

这些机构共同构建了一个多元化的运动康复师认证体系，保证了运动康复行业的专业化和规范化，无论是个人还是机构，想要获取运动康复师资格，都需要通过这些单位提供的正规渠道进行学习和考试，以获得合法有效的证书，这不仅有利于提升个人专业能力，也有利于推动整个运动康复行业的健康发展。