运动康复师证书是由相关权威机构进行颁发的，具体发放单位可能因地区和认证体系的不同而有所差异，在中国，通常由人力资源和社会保障部认可的职业技能鉴定指导中心或者中国体育科学学会等专业机构进行考核并颁发证书，在其他国家和地区，如美国，可能会由国家委员会认证的运动疗法协会（National Board for Certification in Occupational Therapy, NBCOT）或其他类似的组织来颁发。

关于费用问题，获取运动康复师证书的过程通常包括报名费、培训费、考试费以及证书工本费等多个部分，在中国，整体费用可能在几千元到万元不等，这取决于你选择的培训机构、课程内容以及当地的经济水平，在美国，例如NBCOT的初始认证费用大约是355美元，每三年需要更新一次，续证费用约为125美元。

至于运动康复师的月薪，这在全球范围内都有很大的差异，主要受地域、工作经验、专业技能、工作环境等因素影响，在中国，初级运动康复师的月薪大概在5000-8000元人民币之间，有经验的专业人士或高级职位可以达到10000元以上甚至更高，在美国，根据Bureau of Labor Statistics的数据，职业治疗师（包含运动康复师）的平均年薪为$87,410，但实际收入也会因上述因素有所不同。

成为一名运动康复师不仅需要投入时间和金钱去获取专业资格，而且还需要持续学习以保持专业知识的更新，这个职业的前景广阔，能帮助人们恢复健康，提高生活质量，因此其价值和回报也是相当可观的。