按摩技师证的办理机构是国家职业技能鉴定指导中心和地方职业技能鉴定所，它们负责对按摩技师进行专业技能、职业道德等考核，并颁发相应的证书。

国家职业技能鉴定指导中心是由人力资源和社会保障部直属事业单位，主要负责组织职业技能鉴定工作，包括初级（五级）、中级（四级）和高级（三级）职业技能鉴定，以及技师、工程师、研究员、教授等高级技术职务的专业技术人员的职业技能鉴定。

地方职业技能鉴定所则由地方人民政府设立，负责本地区内各类职业人员的职业技能鉴定工作，主要包括初级（一至五级）、中级（六至十级）和高级（十一至十二级）职业技能鉴定。